Musik spielte von Beginn an eine zentrale Rolle im Leben von Anastasia Kobekina: Ihre Mutter ist Klavierlehrerin, ihr Vater der Komponist Vladimir Kobekin. Bereits im Alter von sechs Jahren gab die Cellistin ihr erstes Konzert als Solistin mit Orchester; mit zwölf wurde sie am renommierten Moskauer Konservatorium aufgenommen. In Deutschland studierte sie bei Frans Helmerson und Jens-Peter Maintz, in Paris bei Jerome Pernoo und zuletzt lernte sie Barockvioloncello bei Kristin von der Goltz in Frankfurt.

2015 gewann Anastasia Kobekina den ersten Preis beim renommierten TONALi-Musikwettbewerb. Von 2018 bis 2021 war sie »New Generation Artist« des BBC Radio 3, 2019 wurde sie mit der Bronzemedaille des Tschaikowsky-Wettbewerbs in St. Petersburg ausgezeichnet, 2022 zur »Borletti-Buitoni Trust Artist« gewählt. Im Sommer 2024 erhielt sie den von der Sparkassen-Finanzgruppe gestifteten Leonard Bernstein Award des Schleswig-Holstein Musik Festivals.

Als Solistin konzertiert Anastasia Kobekina mit international führenden Orchestern, darunter das Konzerthausorchester Berlin, Die Deutsche Kammerphilharmonie Bremen, die Wiener Symphoniker, das BBC Philharmonic, die Kremerata Baltica, das Tschaikowsky-Sinfonieorchester Moskau, das Barcelona Symphony Orchestra, das Orchestre National d’Île-de-France, das Tonhalle-Orchester Zürich, das Orchestre National du Capitole de Toulouse, die Tschechische Philharmonie, das Mahler Chamber Orchestra, das Royal Philharmonic Orchestra, das Philharmonia Orchestra, das BBC Scottish Symphony Orchestra sowie die Academy of St Martin in the Fields.

Auch in der Kammermusik ist sie eine gefragte Partnerin. Zu ihren musikalischen Weggefährten zählen u. a. Lars Vogt, Isabelle Faust, Denis Matzuev, Fazıl Say, Vladimir Spivakov, Gidon Kremer und Sir András Schiff.

2024 war Anastasia Fokus-Künstlerin des Rheingau Musik Festivals und 2025 Artist in Residence bei den Festspielen Mecklenburg-Vorpommern und beim Beethovenfest Bonn.
Seit 2023 ist sie Sony Classical-Exklusivkünstlerin. Nach ihrem vielgelobten Debütalbum »Venice«, das 2024 erschien, veröffentlichte sie im Herbst 2025 ihre Einspielung der kompletten Cellosuiten von Johann Sebastian Bach.